ELIPSE
Definición: es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
En la figura 3.1, los focos están representados por los puntos:
En una elipse, si se suman las distancias
se obtiene un valor constante, sin importan la
ubicación del punto p, se representa por:
Por esta razón es fácil trazar una elipse, se clava un par de clavos en el sitio de los focos, se amarra un cordel o cuerda que pase por los dos clavos y que sea más grande que la distancia entre los clavos. Posteriormente con un lápiz se traza la elipse, como lo nuestra la figura 3.1. para ello se debe tensar el cordel o cuerda con el lápiz y moverlo en el contorno.
La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales de la elipse es la siguiente:
La letra "a" representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más alargada. Ver figura 3.2.
La letra "b" representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por su parte más achatada o corta.
La letra "c" representa la distancia que hay desde el centro hasta cada uno de los focos.
Vértices: son los puntos extremos más alejados del centro.
Eje mayor: Es la distancia de un vértice hasta el otro y equivale a .
Eje menor: Es la distancia de extremo a extremo por su parte más angosta y equivale a 2b.
Distancia Focal: es la distancia que hay de un foco al otro foco y equivale a 2c.
La posición del centro, cuyas coordenadas son O(h, k). Para evitar confusiones con la distancia del centro al foco a la que se le nombro con la letra "c" minúscula, al centro de la elipse se le asigna la letra O (mayúscula).
Lado Recto: es la cuerda perpendicular al eje mayor y pasa por el foco.
Hay dos posibilidades de obtener una elipse: horizontal o vertical. A partir de las coordenadas del centro O(h, k) , se obtienen las longitudes del semieje mayor "a" y la longitud del semieje menor "b", a partir de esta información se puede obtener o deducir todas las características de la elipse. Las cuales están dadas en la ecuación particular o reducida de la elipse.
La ecuación particular de la elipse se cumples cuando a > b es:
Para saber si se trata de una elipse horizontal o una elipse vertical, basta comparar los dos denominadores de la ecuación particular. Como a> b, el denominador mayor debe ser:
El eje mayor es paralelo al eje de la variable en donde esta "a".
Igual que en las anteriores cónicas que tienen términos al cuadrado, "h" significa el desplazamiento horizontal del centro y "k" el desplazamiento vertical del centro. El significado de las letras a y b de los denominadores están definido en la figura 3.2.
Existe una relación entre las tres constantes a, b, y c, que a partir del teorema de Pitágoras está relacionadas por la expresión:
de donde se puede despejar cualquiera de las tres literales.
Otra característica interesante es la longitud del lado recto que se determina por la expresión:
Donde las letras a y b que aparecen, son la mismas definidas anteriormente.
Finalmente una medida interesante es la llamada excentricidad, que se denota con la letra "e".
Excéntrico en este caso significa fuera del centro, se refiere a qué tan lejos del centro de la elipse se encuentra los focos en proporción al tamaño de dicha elipse. Para comprender mejor este concepto basta con darse cuenta que una elipse mientras más alejen los focos del centro, la forma de la elipse es más alargada. (ver figura 3.3, inciso a); conforme los focos se acercan al centro, es decir, conforme el valor de c se hace más pequeño. La elipse se aproxima a una circunferencia (ver figura 3.3, inciso b) y finalmente cuando los focos coinciden con el centro.
La excentricidad se mide a través de la
proporción:
La escala posible de medición de la excentricidad va de cero a uno, es decir:
Si e=0 se trata de una circunferencia, mientras más se aproxime el valor de "e" a uno cercano más alargada estará la elipse.
Para obtener la ecuación general de una elipse a partir de la ecuación cónica se realiza el desarrollo de los binomios, se suman términos semejantes y se iguala a cero, para obtener la ecuación cónica a partir de una ecuación general se debe factorizar, primero como factor común, segundo completar el trinomio cuadra perfecto, tercero factorizar el trinomio cuadrado perfecto y por último se divide entre el resultado para obtener la unidad.