Hipérbola

Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos P de un plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos se llaman focos y su representación gráfica es la figura 4.1.

Con relación a la figura 4.1, el segmento

 que pasa por los focos es el eje de la hipérbola o eje real. El punto medio entre los puntos llamados focos recibe el nombre de centro. La recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje real se denomina eje imaginario. Cada punto de intersección del eje real con la hipérbola se llama vértice. La distancia que existe entre los vértices se denomina semieje real y la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario. La cuerda perpendicular al eje real y pasa por uno de los focos recibe el nombre de lado recto.El eje que pasa por los focos y los vértices recibe el nombre de eje focal.

La simbología que se utiliza para representar las partes fundamentales la hipérbola es la siguiente:

La letra "a" representa la distancia que existe del centro a cada uno de los vértices de la hipérbola.

La letra "b" representa la distancia que hay del centro a cada uno de los extremos del eje imaginario.

La letra "c" representa la distancia que existe del centro a cada uno de los focos de la hipérbola.

De acuerdo a nuestro objetivo existen dos posibilidades de obtener la gráfica o la ecuación de una hipérbola que es en forma vertical y forma horizontal, como lo muestra la figura 4.2.

Las características de la posición de las hipérbolas están determinadas por sus respectivas ecuaciones, cónicas que a continuación se muestran:

Como se puede observar hay varios aspectos que son muy semejantes a la elipse, inclusive en la ecuación particular existen muchas similitudes. Como en el caso de la aplicación del teorema de Pitágoras que se emplea las mismas letras, pero representan distintos elementos de la hipérbola, donde "c" es la hipotenusa del triángulo rectángulo y las letras "a" y "b" son los catetos.

A partir de las coordenadas del centro (h,k) se pueden obtener las longitudes de semeje real representado por "a" y el semieje imaginario representado por "b", por consecuencia deducir todas las demás características antes mencionadas de la hipérbola, sumando o restando los respectivos valores de "a", "b" y "c". Lo fundamental es su orientación. Para determinar si se trata de una hipérbola horizontal o vertical, basta observar las dos fracciones de la ecuación particular, donde una debe ser positiva y la otra negativa, la que queda positiva es la que indica la variable en que se encuentra el eje focal.

La hipérbola tiene asociada dos líneas rectas a las cuales se observa que cada vez se van pegado más y más a ésta, sin llegar jamás a unirse. Estas rectas se muestran en la figura 4.3

En general, se le da el nombre de asíntota a toda línea recta que por más que se prolongue la curva nunca se llega a unir o tener un punto en común.

Para obtener la ecuación de las asíntotas se consideran la ecuaciones cónicas de la hipérbola se igualan a cero y se factorizan. Es decir:

Se factoriza como diferencia de cuadrados para formar los binomios conjugados. Los binomios representan las respectivas ecuaciones de las asíntotas.

Otra característica importante de la hipérbola es su lado recto, su longitud se determina de la misma forma que la elipse:

Para transformar la ecuación general de la hipérbola a la forma cónica o reducida de esta, se realiza el mismo procedimientos que en la circunferencia, parábola o elipse, con la única diferencia que se factorizan los signos para obtener la diferencia de cuadrados. Por esta razón no se muestra el proceso, solo hay que revisar los termas antes vistos.

Su ecuación general se puede representar por: 

Para obtener la ecuación general a partir de la reducida simplemente se desarrollan los binomios y se iguala a cero y se suman términos semejantes.