DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Considérese los puntos: 

que son los extremos del segmento AB, si se desea encontrar el punto: 

que divide al segmento de recta en una razón dada "r" como se muestra en la figura 3

Si se proyectan las coordenadas de cada punto hacia los ejes del plano cartesiano, se forman triángulos semejantes

Recuerde que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. De acuerdo a la figura 3 tenemos que:   

Al sustituir el valor de cada segmento en términos de "x", si la razón está dada por

se obtiene:  

y en términos de "y" se obtiene:  

Para el valor de la abscisa solo igualamos a las "x", al desarrollando el álgebra para obtener "x", hasta llegar a obtener la expresión:

Para el valor de la ordenada solo igualamos a las "y", se desarrolla el álgebra para obtener el valor "y", hasta obtener la expresión:  

Para el caso particular cuando el punto  

se encuentra a la mitad del segmento AB, esto generará que   

está en el punto medio del segmento AB y da como consecuencia que 

por lo tanto la razón de semejanza es r=1. Por lo que al sustituir en las expresiones

 que al simplificar se llega a las expresiones de punto medio que son: